Tilastollisten tunnuslukujen ymmärtäminen on olennainen osa datan tulkintaa ja päätöksenteon perustelua. Tässä artikkelissa käsittelemme keskiarvon, mediaanin ja keskihajonnan määritelmiä, laskentamenetelmiä sekä käytännön esimerkkejä. Lisäksi esittelemme helppokäyttöisen interaktiivisen laskurin, jolla voit suorittaa aritmeettisen keskiarvon, mediaanin ja moodin laskun suoraan WordPress-artikkelissasi.
Johdanto keskiarvoon
Keskiarvo eli aritmeettinen keskiarvo on tilastotieteessä yleisesti käytetty tunnusluku, joka kuvaa joukkoon kuuluvien arvojen “keskikohtaa”. Se lasketaan summaamalla kaikki havaintoarvot yhteen ja jakamalla saatu summa havaintojen määrällä.
Keskiarvo soveltuu erinomaisesti esimerkiksi arvioitaessa opiskelijoiden arvosanojen, tulojen tai kulutuksen keskitasoa. Kuitenkin poikkeavat arvot (outlierit) voivat vaikuttaa keskiarvoon merkittävästi.
Tilastollisen analyysin yhteydessä on usein tarpeen tarkastella myös keskihajontaa ja mediaania täydentämään kuvaa aineiston jakaumasta ja arvojen hajonnasta.
Miten keskiarvo lasketaan
Keskiarvon laskeminen perustuu kahteen vaiheeseen: havaintojen summaukseen ja summan jakamiseen havaintojen määrällä. Merkitään arvot x₁, x₂, …, xₙ ja määrä n. Tällöin keskiarvo μ on
μ = (x₁ + x₂ + … + xₙ) / n.
Otetaan esimerkiksi luvut 4, 5, 9 ja 10. Näiden summa on 4 + 5 + 9 + 10 = 28. Jakamalla tämä summa neljällä (havaintojen lukumäärä) saadaan keskiarvoksi 7.
Keskihajonnan laskeminen
Keskihajonta kuvaa, kuinka paljon yksittäiset havainnot keskimäärin poikkeavat keskiarvosta. Laskenta etenee seuraavasti:
- Laske erotus kunkin havainnon ja keskiarvon välillä.
- Neliöi jokainen erotus.
- Laske neliöityjen erotusten keskiarvo.
- Ota keskiarvosta neliöjuuri.
Esimerkissämme erotukset ovat 3, 2, 2 ja 3, joiden neliöt ovat 9, 4, 4 ja 9. Näiden summa on 26 ja keskiarvo 26 / 4 = 6,5. Neliöjuuri luvusta 6,5 on noin 2,55.
Otoskeskihajonta ja perusjoukko
Tilastotieteessä erotellaan usein perusjoukon (population) ja otosjoukon (sample) keskihajonnat. Otoskeskihajontaa laskettaessa jaetaan summattu neliöllinen poikkeama havaintojen määrällä vähennettynä yhdellä (n−1). Tämä tarkentaa estimaattia silloin, kun käsitellään vain osaa suuremmasta populaatiosta.
Esimerkissämme otoskeskihajonta on √(26 / 3) ≈ 2,94, kun taas perusjoukon keskihajonta on √(26 / 4) ≈ 2,55.
Mediaani ja moodi
Mediaani on havaintoaineiston keskimmäinen arvo. Jos havaintoja on pariton määrä, mediaani on yksi arvo; parillisella määrällä mediaani on kahden keskimmäisen keskiarvo. Esimerkiksi joukon 4, 5, 9 ja 10 mediaani on (5 + 9) / 2 = 7.
Moodi puolestaan on yleisin arvo havaintoaineistossa. Jos esimerkiksi arvosanat ovat 4, 5, 6, 6, 8, moodi on 6.
Esimerkki tuntikohtaisesta sähkönkulutuksesta
Seuraavassa taulukossa kuvataan esimerkinomainen sähkönkulutus (yksikkö kWh) päivän tunneittain. Taulukko havainnollistaa, miten keskiarvo ja hajonta kertovat eri näkökulmista kulutustiedon keskiarvosta ja vaihtelusta.
| Tunti | Kulutus (kWh) |
|---|---|
| 00–01 | 0.8 |
| 01–02 | 0.7 |
| 02–03 | 0.6 |
| 03–04 | 0.5 |
| 04–05 | 0.6 |
| 05–06 | 0.9 |
| 06–07 | 1.2 |
| 07–08 | 1.5 |
| 08–09 | 1.8 |
| 09–10 | 1.6 |
| 10–11 | 1.4 |
| 11–12 | 1.3 |
Tämän aineiston aritmeettinen keskiarvo on summa (12.9 kWh) jaettuna 12:lla eli noin 1.075 kWh. Keskihajonta kertoo tuntien kulutuksen vaihtelun keskimäärin.
Interaktiivinen laskuri
Alla oleva JavaScript-laskuri laskee syöttämäsi pilkulla erotellut luvut aritmeettisen keskiarvon, mediaanin ja moodin sekä järjestää luvut nousevaan järjestykseen. Liitä tämä koodi suoraan WordPress-artikkeliisi.
Tulokset
- Lukujen määrä:
- Keskiarvo:
- Mediaani:
- Moodi:
- Luvut nousevassa järjestyksessä:
Yhteenveto
Tässä artikkelissa olemme tarkastelleet keskiarvon, mediaanin ja keskihajonnan laskentaa ja tulkintaa. Keskiarvo antaa arvion aineiston sijoittumisesta, mediaani suojaa poikkeavilta arvoilta ja moodi paljastaa yleisimmän arvon. Keskihajonta puolestaan mittaa arvojen hajontaa suhteessa keskiarvoon.
Interaktiivinen laskurimme auttaa sinua laskemaan näitä tunnuslukuja helposti ja nopeasti. Voit hyödyntää laskuria esimerkiksi koulutodistusten arvosanojen, taloudellisten tunnuslukujen tai mittausaineistojen analysoinnissa.
Lisätietoja ja muuta tilastollista sisältöä löydät muista sivuistamme ja laskureistamme.
